Ingrese a la caja negra: Cómo obtener beta (Parte 2

Este ejemplo continúa el ejemplo de:

Ingrese a la caja negra: Cómo obtener beta (Parte 1 - Sin covariables)

Seguiremos usando los datos que se muestran en ese ejemplo y se pueden encontrar aquí: https://github.com/dstellotri/rmda

Antes estábamos tratando de cómo obtener beta de este modelo:

Income_i=\beta_0+\beta_1Batten_i+\epsilon_i

Ahora, queremos entender cómo cambia $\beta_1$ una vez que agregamos una covariable. En este caso el modelo completo será:

Income_i=\beta_0+\beta_1Batten_i+ParentsIncome_i+\epsilon_i

Veamos varios métodos. Cada uno de estos inspira diferentes formas de entender lo que realmente está haciendo una covariable. Lo que recomiendo es pasar por esto y tratar de entender desde su propia perspectiva la intuición de lo que está haciendo "controlar una variable".

Regresión

Primero ejecute la regresión utilizando los datos e informe cuál es el valor de $\beta_1$ is.

‣

Respuesta

* The value of beta 1 is 14.84 
reg income batten parents

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        18
-------------+----------------------------------   F(2, 15)        =    246.69
       Model |    15477.94         2     7738.97   Prob > F        =    0.0000
    Residual |      470.56        15  31.3706667   R-squared       =    0.9705
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.9666
       Total |     15948.5        17  938.147059   Root MSE        =     5.601

-------------------------------------------------------------------------------
       income |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
       batten |      14.84   2.743895     5.41   0.000     8.991526    20.68847
parentsincome |     1.2944   .0672114    19.26   0.000     1.151142    1.437658
        _cons |   65.33333   5.027009    13.00   0.000     54.61852    76.04815
-------------------------------------------------------------------------------

Usando Promedios

¿Cómo obtendríamos el valor si tuviéramos que usar promedios?

‣

Respuesta

🗒️

Antes comparábamos los ingresos de las personas que asistían a Batten y luego los restábamos de los ingresos de las personas que no asistían a Batten. Luego haríamos el mismo proceso para todos los niveles de ParentsIncome. Este concepto entonces realmente presenta el concepto de "mantener las cosas constantes" para hacer la comparación.

Parents Income	Batten=1	Batten=0	Difference	N
50	142.5	129.25	13.25	6
75	180	165	15	6
100	208.75	192.5	16.25	6

La diferencia en cada contenedor de ingresos de los padres es 13, 25, 15 y 16, 25. En cada una de estas comparaciones hay 6 observaciones, por lo que al promediar toda la diferencia obtenemos: 13.25 (6/18)+15(6/18)+16.25(6/18)=14.83 Usando este método obtenemos una beta de 14.83

. tab parentsincome

parentsinco |
         me |      Freq.     Percent        Cum.
------------+-----------------------------------
         50 |          6       33.33       33.33
         75 |          6       33.33       66.67
        100 |          6       33.33      100.00
------------+-----------------------------------
      Total |         18      100.00

* Hay 3 niveles de ingresos de los padres, por lo que haremos ///
* la comparación media en cada uno de estos niveles
sum income if batten==1 & parentsincome==50

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
      income |          2       142.5    3.535534        140        145

sum income if batten==0 & parentsincome==50

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
      income |          4      129.25    4.349329        125        135

display  142.5 - 129.25
13.25

sum income if batten==1 & parentsincome==75

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
      income |          3         180           5        175        185

sum income if batten==0 & parentsincome==75

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
      income |          3         165           5        160        170

display 180 - 165
15
sum income if batten==1 & parentsincome==100

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
      income |          4      208.75    8.539126        200        220

sum income if batten==0 & parentsincome==100

    Variable |        Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+---------------------------------------------------------
      income |          2       192.5    3.535534        190        195

display 208.75 - 192.5
16.25

display 13.25*(6/18)+15*(6/18)+16.25*(6/18)
14.833333

Usando la Formula

Ahora obtenga el valor de beta 1 usando la siguiente fórmula $\beta_1=\frac{Cov(Batten,Income)}{Var(Batten)}$

‣

Respuesta

🗒️

Al usar este método tenemos que adaptar algunas cosas. Primero tenemos que obtener

\widetilde{Batten}

\widetilde{Batten}

es la diferencia entre el valor predicho de Batten en relación con todas sus covariables y el valor real de Batten. El primer paso es hacer una regresión de Batten en todas las covariables del modelo. En este caso, los ingresos de los padres.

. reg batten parentsincome

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        18
-------------+----------------------------------   F(1, 16)        =      1.28
       Model |  .333333333         1  .333333333   Prob > F        =    0.2746
    Residual |  4.16666667        16  .260416667   R-squared       =    0.0741
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.0162
       Total |         4.5        17  .264705882   Root MSE        =    .51031

-------------------------------------------------------------------------------
       batten |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
parentsincome |   .0066667   .0058926     1.13   0.275     -.005825    .0191583
        _cons |   5.55e-17   .4580176     0.00   1.000    -.9709539    .9709539
-------------------------------------------------------------------------------

* Luego obtenemos el valor predicho del listón dado este modelo
predict battenhat, xb

* Ahora restamos el valor real de Batten menos el valor predicho,
* nombramos a esta variable batten_tilda:
gen batten_tilda=batten-battenhat

* Note que este es también el mismo proceso de obtener los residuos de
reg baten parents income
predic res_batten, res

🗒️

Once we have obtain

\widetilde{Batten}

, now we can use our formula

\beta_1=\frac{Cov(\widetilde{Batten},Income)}{Var(\widetilde{Batten})}

. We’ll do this in STATA

correlate batten_til income, covariance
(obs=18)

             | batten~a   income
-------------+------------------
batten_tilda |  .245098
      income |  3.63725  938.147

sum batten_til, det

                        batten_tilda
-------------------------------------------------------------
      Percentiles      Smallest
 1%    -.6666667      -.6666667
 5%    -.6666667      -.6666667
10%    -.6666667            -.5       Obs                  18
25%          -.5            -.5       Sum of Wgt.          18

50%    -1.49e-08                      Mean          -1.32e-08
                        Largest       Std. Dev.      .4950738
75%           .5             .5
90%     .6666666             .5       Variance        .245098
95%     .6666666       .6666666       Skewness      -1.65e-08
99%     .6666666       .6666666       Kurtosis         1.3104

display 3.63725/.245098
14.839982

FWL Way

Aquí hay otro método (similar al anterior) en el que muestra cómo obtener la misma beta y proporciona una intuición similar. Se llama usando el teorema de Frisch-Waugh-Lovell.

reg batten parentsincome

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        18
-------------+----------------------------------   F(1, 16)        =      1.28
       Model |  .333333333         1  .333333333   Prob > F        =    0.2746
    Residual |  4.16666667        16  .260416667   R-squared       =    0.0741
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.0162
       Total |         4.5        17  .264705882   Root MSE        =    .51031

-------------------------------------------------------------------------------
       batten |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
parentsincome |   .0066667   .0058926     1.13   0.275     -.005825    .0191583
        _cons |   5.55e-17   .4580176     0.00   1.000    -.9709539    .9709539
-------------------------------------------------------------------------------

predict res_batten, res

reg income parentsincome

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        18
-------------+----------------------------------   F(1, 16)        =    167.82
       Model |  14560.3333         1  14560.3333   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  1388.16667        16  86.7604167   R-squared       =    0.9130
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.9075
       Total |     15948.5        17  938.147059   Root MSE        =    9.3145

-------------------------------------------------------------------------------
       income |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
parentsincome |   1.393333   .1075549    12.95   0.000     1.165327     1.62134
        _cons |   65.33333   8.360044     7.81   0.000     47.61083    83.05583
-------------------------------------------------------------------------------

predict res_y, res

reg res_y res_batten

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        18
-------------+----------------------------------   F(1, 16)        =     31.20
       Model |  917.606684         1  917.606684   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  470.559999        16  29.4099999   R-squared       =    0.6610
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.6398
       Total |  1388.16668        17  81.6568637   Root MSE        =    5.4231

------------------------------------------------------------------------------
       res_y |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
   res_batte |      14.84   2.656765     5.59   0.000      9.20791    20.47209
       _cons |   8.28e-10   1.278237     0.00   1.000    -2.709741    2.709741
------------------------------------------------------------------------------

* This provides the beta of 14.84

Ingrese a la caja negra: Cómo obtener beta (Parte 2 - con covariables)

Regresión

Usando Promedios

Usando la Formula

FWL Way